Cálculo

¿Qué es la transformada de Fourier y para qué sirve? Cómo descubrir la dinámica de una serie temporal

11/10/2017 por Jordi Ollé 32 comentarios

Seguro que el termino frecuencia te ha llegado alguna vez.

Seguramente has oído que la electricidad de tu casa está a 60 Hz 0 50Hz dependiendo del país. ¿Verdad?

Estos «Hz» son unidades de frecuencia. Hoy vas a salir de aquí sabiendo que significa «frecuencia».

Y además este concepto está muy relacionado en saber interpretar la dinámica de una serie temporal.

La dinámica es cómo va evolucionando tu serie en el tiempo. Cómo se va moviendo durante un período de tiempo.

Y para observar está dinámica vas a utilizar la famosa transformada de Fourier y ¡»su mundo» en la frecuencia!

¿Te atreves a descubrirlo?

¡¡¡AVISO!!! Incluye un ejemplo al final de post

# Una analogía: la crema de verduras

Imagínate un sistema que te permita «desmezclar» lo que tienes.

No sé si existe el verbo «desmezclar». Mejor separar, ¿verdad? 😛

¡Eso es! Un sistema capaz de separar los elementos de algo mezclado. ¡Estarás flipando! jejeje

Imagina un sistema que separe las verduras enteras de una crema de verduras. (ya sé que es imposible pero atrévete a imaginarlo)

En una crema de verduras esta todo mezclado. No sabes si comes calabacín, cebolla, patata o que es… Una vez en la boca ya ni lo sabes. El gusto final es la suma de muchos gustos.

¡No te preocupes! Hoy no estás aquí para aprender a separar verduras. Más bien, vas a separar series temporales 🙂

Te presento a La Transformada de Fourier. Un sistema capaz de separar las verduras de la crema de verduras. ¡Es algo extraordinario! ¿No crees?

Mira la imagen:

Imagina que la crema de verduras es una serie temporal compleja.

Y las verduras son ondas con la forma más básica de onda.

Con ello vas a poder pasar de la serie temporal a un espectro en frecuencias para analizar la dinámica de tu serie temporal. ¡Toma!

Este es el objetivo de hoy.

# Explicando una serie temporal como la suma de muchas ondas

Una serie temporal es, en el fondo, la suma de muchas ondas como las que has visto antes. Estas ondas tienen la forma típica de un sin(x) o cos(x). ¿Te acuerdas?

El señor Fourier demostró que existe este sistema «separador de verduras» (matemáticamente hablando).

Siempre puedes separar una serie temporal como la suma de muchas ondas de dimensiones diferentes y con ritmo también diferentes.

Algo así.

Esto es la transformada de Fourier. Es un separador de series temporales en ondas simples.

Ahora te explico mejor que quiero decir con ondas simples.

# La onda simple o onda sinusoidal

La gracias del sistema separador de ondas de Fourier es que la serie temporal se expresa en forma de ondas muy simples.

Ahora te voy a explicar los tres conceptos más importantes en un onda simple o onda sinusoisal 🙂

Una onda es bonita y sigue una harmonia muy suave como la que ves en la imagen.

para caracterizar esta onda tienes los siguientes conceptos:

Amplitud: es lo alta o baja que es
La frecuencia: es el ritmo que lleva. O es el número de ondulaciones por segundo
El desfase: es cuando empieza la onda.

Matemáticamente es así:

A: Amplitud
f: la frecuencia es el inverso del período (1/T). El período es el tiempo de duración de una ondulación completa.
fi: el desfase

Puedes jugar un poquito en este simulador de 2 ondas y visualizar la suma de las dos:

Hasta aquí bien, ¿verdad?

Has visto el sistema separador de Fourier que es capaz de expresar una serie temporal en la suma de ondas bonitas. Has visto qué características tienen estas ondas bonitas.

Déjame detenerme en el concepto de frecuencia. Es la clave para entender el sistema separador de Fourier 😉 ¡Vamos a ello!

#El concepto de frecuencia

El ejemplo que todo el mundo ha visto: el reloj. Voy a tratar de explicarte que es la frecuencia con la ayuda de las agujas del reloj 😉

La minutera se mueve cada 60 segundos: 1/60 Hz
La segundera se mueve cada 1 segundo: 1/1 Hz
La hora se mueve de posición cada 3600 segundos o cada 60 minutos: 1/3600 Hz

Estos valores son frecuencias. Vueltas o repeteciones dividido por unidad de tiempo (segundos)

Cuanto más baja es la frecuencia más lento es el proceso

Pasa lo mismo con la onda sinusoidal que has visto antes.

Aquí tienes un simulador de ondas. Intenta crear una onda bonita como la que has visto en el punto anterior. Te sugiero que le des a la opción de Oscillate y No End en la parte superior izquierda y derecha respectivamente. Entenderás mucho mejor el concepto de frecuencia:

Por ejemplo la señal eléctrica de 220V que pasa los enchufes de nuestra casas da 60 vueltas cada segundo 60/1. Es de 60 Hz. El valor del voltaje no es constante en el tiempo. Sino que es una onda bonita como la que te he explicado antes. Y por tanto a veces se hace 0.

En realidad la luz de nuestras casas se enciende y se apaga 60 veces por segundo. Va tan rápida que ni la percibimos.

¿Puedes crear una onda sinusoidal de 5V y 60Hz con la ayuda de este simulador. (A mi me ha costado un poquito jejeje)

Estás mucho más preparado para entender el separador de Fourier.

¡Let’s go!

# El separador de Ondas de Fourier

Repito: el separador de ondas de Fourier es la máquina de «desmezclar» verduras que te comentaba al principio.

Y es capaz de separar una serie temporal super rara en la suma de ondas simples (como las que has visto antes)

Según el separador de ondas que montó Fourier hace ya unos años tenemos esto:

Mi serie temporal = suma de Ondas Simples
Mi serie temporal = Sumatorio (A_i * sin(2PI*f_i t + desfase_i))

La gracia del separador es que nos permite dibujar las amplitudes de las ondas en función de la frecuencia. ¡Toma!

De esta manera es más fácil visualizar las magnitudes de las ondas (amplitud) y lo rápidas o lentas que van (frecuencia)

Es el llamado mapa de frecuencias o espectro de frecuencias.

¡No te asustes! Es una manera de dibujar las ondas que ha encontrado el separador en un papel. De esta manera será más fácil de interpretar todas estas ondas simples.

# Los dos mundos: el tiempo y la frecuencia

El separador de Fourier es capaz de pintar tu serie temporal que está en el tiempo y la pinta en el mundo del ritmo, de la frecuencia. Por este motivo, se dice que la transformada de Fourier pasa del espacio temporal al espacio frecuencia. (¡suena más cool y complicado!)

¡En este tipo de gráficos queda condensada toda la información de las ondas que has obtenido el separador de Fourier!

Sólo necesitas las amplitudes o A’s y las frecuencias o f’s de las ondas que has encontrado con el separador.

Podemos pasar de una serie temporal complicada a una suma de ondas.
Y podemos dibujar esto en un mapa de frecuencias. Utilizando la frecuencia como medida para diferenciar las diferentes ondas.

La gracia de este espectro de frecuencias o mapa de frecuencias es que puedes ver a simple vista el contenido de las ondas resultado de utilizar el separador de ondas de Fourier. Y de esta manera caracterizar la dinámica de la serie temporal.

Una serie temporal la puedes pasar a una gráfico en frecuencia.

Esta es la idea.

Estos gráficos son muy buenos para entender el contenido en frecuencia. Es decir qué ondas son las más grandes y en qué frecuencia van.

# La transformada de Fourier en matemáticas

¡Para los más valientes! Te he preparado una sección sobre cómo se escribe todo esto matemáticamente.

He utilizado una pequeña imagen de esta página dónde se resume toda la notación:

Como sé que te será difícil entenderlo, lo mejor es que consultes a los cracks. Para mi el mejor artículo que jamás he visto sobre la transformada de Fourier y la matemática que hay detrás.

¡Vas a flipar!

>> Accede al artículo de betterexplained.com y ¡flipa!

# Un ejemplo de aplicación

Voy a tratar de explicarte lo que has visto en el post con un pequeño ejemplo.

Este ejemplo consiste en calcular la transformada de Fourier para la serie temporal que has visto en las imágenes del artículo 😉

DESCARGA EL EJEMPLO

¡Seguro que lo tendrás más que claro!

¡No te lo pierdas!

…

En próximos artículos te explicaré más en detalle qué es el espectro de densidad de frecuencias y alguna aplicación real para que entiendas mucho mejor todo lo que has visto hoy 🙂

La transformada de Fourier es un concepto complicado. En este artículo he intentado focalizarte en el objetivo práctico de la transformada más que en explicar la notación matemática.

¿Qué tal si me dices qué tal te ha parecido? ¿Tienes dudas? Te espero en los comentarios 😉

Cómo utilizar la regla de 3 para descubrir los secretos de la funciones lineales. ¿Qué es una función matemática y cómo desmitificarla?

02/02/2017 por Jordi Ollé Dejar un comentario

Mi madre es licenciada en historia y profesora de vocación. Dice que es de letras. Pero no me lo creo. A ella le gustan las mates, pero según dice: “las mates me superaron cuando llegaron las derivadas”. Yo le digo: “Mare, casi que a lo mejor te perdiste antes”. Es decir, a lo mejor lo que no entendió mi madre fueron las funciones. Y lo bueno es que ella sabe aplicar la regla de 3 muy bien. ¿Sabes que cuando aplicas la regla de 3 estás dibujando una función matemática?

Así que hoy voy a ayudar a mi madre, y espero que a ti, a ilustrar la idea de función con la ayuda de la famosa regla de 3. Vamos a desmitificar la idea aburrida de la f(x). Venga vamos a ello.

# Empieza por una función fácil: ¿Cuántos metros son X km’s?

La función es un concepto que está por todas partes. En estadística, en cálculo, en el propio análisis de datos, y en nuestro día a día. Tenemos que convivir y sacar lo mejor de las funciones.

Te voy a poner un ejemplo muy sencillo. ¿Cuántos metros son 1 km? Respuesta fácil: 1000 metros son 1 km. ¿Sabes que acabas de definir una función? Sí, sí… Una función muy muy simple. Una función lineal.

La gracia de la función es que va a responder a la siguiente pregunta. ¿Cuántos metros son X km’s? X significa cualquier cantidad de km’s. Ésta es la función:

1.000·X

Y la famosa f(x) significa función de X. Es decir que la cantidad de metros depende de los km’s que has recorrido (X). (que es lo mismo que decir que los metros van en función de los km)

y : los metros que recorres (variable)
x: los km que has recorrido (variable predictora)
y = f(x) = los metros en función de los km’s.
y = 1000·X >> y es función de X >> y = f(x)

Es decir que por cada 1 km recorres 1000 metros. Parece una chorrada de función. Pero cuando el problema se complica, una función tiene mucha importancia. Es una manera de responder a una pregunta genérica.

Gráficamente es algo así:

Fíjate que es una recta, y además una función. Una variable depende linealmente de la otra. Por cada 1 km haces 1000 metros. Y eso es precisamente la pendiente de la recta.

Esta recta matemáticamente se escribe así:

y = m·X

m es la pendiente. Es el factor de cambio de metros a km’s (en el fondo es un índice de crecimiento y también es una derivada… pero lo dejaré para otro día 😉 )

# La regla de 3 es la función matemática más famosa de todos los tiempos

La función que acabas de ver: y = 1000·X es la mítica regla de 3. ¿Te lo crees?

Es la recta más simple, es la recta que pasa por el (0,0). Es una proporción…. Si si. Cuando aplicas una regla de 3 estás dibujando mentalmente la función que has visto antes. Fíjate:

1 km —> 1000 m

55 km —> Y m

¿Esto se multiplicaba en cruz verdad? Tienes…

Y · 1 = 1000 * 55 → Si en lugar de 55km le pones X (que significa en general)… ¡lo tienes! Y = 1000·X

# ¿Sabes que los factores de conversión también se pueden representar con la función más simple?

Los factores de conversión sirven para cambiar las unidades. Como has hecho con los km’s a metros.

55 km·1000m /1km

Fíjate que estás haciendo lo mismo que la regla de 3 o la función lineal.

En el fondo ya sabías que era una función. Una regla de 3 o un factor de conversión es una función lineal. Pero es la función lineal más simple. Cruza por el (0,0).

La recta en general no tiene por qué cruzar por el (0,0), tiene otra pinta. Algo así:

y = m·X + n

m es la pendiente o factor de crecimiento (o derivada)
n es el valor del eje Y dónde cruza la recta

Por ejemplo en caso de pasar de grados Celcius a Kelvin. Sabemos que 0ºC son 273 grados Kelvin. Ahora tienes una función lineal con pendiente 1 y cruza en el eje vertical en el 273. Gráficamente tiene una pinta así:

Fíjate que no cruza en el (0,0) si no en el 273. La función lineal tiene esta pinta:

K : grados Kelvin (variable)
C: grados Celcius (variable predictora)
K = f(C) = los grados Kelvin en función de los grados Celcius

K(C) = C+273

Intenta aplicar la regla de 3, ya verás como no se cumple 😉 . Prueba con:

298 K —> 25ºC

303 K —> XºC

Es una función lineal, pero no se puede aplicar la regla de 3 porque la función no pasa por el (0, 0), es decir, no se cumple que 0ºC sean 0 K.

¡Toma! ¿Quieres más?

# “Quiero algo más difícil” Te voy a complicar la vida con una NO lineal

Antes de complicarte la vida. Tú sabes que la longitud de un círculo es 2 veces PI por el radio. Es cómo el perímetro de un círculo. Esto también es una función lineal:

p : el perímetro del círculo (variable)
r: el radio de un círculo (variable predictora)
p = f(r) = el perímetro es función del radio

p(r) = 2PI·r

O lo puedes poner así. Cambias las letras Y por el perímetro, y X por el radio:

Y = f(X) = 2PI·X

Es otra vez una función lineal. Como antes. Es un factor de conversión o una regla de 3 (porque pasa por el (0,0) 😉 )

Pero qué pasa con el área del círculo. El área del círculo es pi por r al cuadrado. Es una superficie. Es lógico que el radio esté al cuadrado (estás calculando el área)

Tienes:

S : la superficie del círculo (variable)
r: el radio del círculo (variable predictora)
y = f(x) = la superficie en función del radio

S = S(r) = pi·r^2

La respuesta a resolver es ¿qué superficie tengo con un radio R?

Y esto NO es una regla de 3. NO es una función lineal que pasa por el (0,0). Aquí tienes dependencia NO LINEAL. El radio está al cuadrado (r^2). Una imagen vale más que 1.000 palabras:

¿Ves que ahora no tienes una recta? Es una dependencia ¡¡¡NO LINEAL!!! (esto me costó entenderlo en su día)

Aplica la regla de 3 y a ver si se cumple la función. Vas a ver enseguida que no.

# Para acabar… para qué sirve la función?

La función es una herramienta para responder preguntas en general. No contesta preguntas particulares como: ¿cuántos metros has recorrido en 55 km’s? o ¿cuánto vale la superficie de una mesa circular de radio 60 cm? Responde a preguntas cómo:

Cuántos km recorres en X metros
Cuánto es el perímetro de un círculo de radio R
Cuánto es la superficie de un círculo de radio R
….

Son leyes que te montas para responder preguntas genéricas. Siempre tienes una variable que depende de la otra.

Las más famosas son las funciones lineales más simples (que pasan por el (0,0)) o las reglas de 3 famosas.

Pero puede haber funciones mucha más complicadas o NO LINEALES (como la función del área del un círculo)

Y por qué te explico esto. Por dos motivos:

Para ayudar a mi madre a entender qué es una función y después le podré explicar qué es una derivada y una integral (y también a ti)
Para introducirte en el mundo de la función lineal y la dependencia lineal. Sobre todo para entender el concepto de regresión lineal, muy importante en análisis de datos

Foto de portada de F. Antolín Hernández

…

Espero que te haya ayudado a romper un mito. La f(x) ya no debe ser un problema para ti. Ya puedes entender mejor qué es una función lineal y también entender qué haces cuando aplicas la famosa regla de 3.

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Cómo calcular tu hipoteca. Aplica tus conocimientos y describe los datos

26/10/2016 por Jordi Ollé Dejar un comentario

El otro día hablando con un compañero del ex-trabajo me comentaba que se entienden mejor las cosas con un ejemplo. Y… ¡es verdad! Hoy te dejo un problemilla que seguro que vas a resolver alguna vez en la vida. ¿Cómo calcular tu hipoteca? o ¿cómo saber cuanto dinero te va a costar un préstamo? Es una aplicación de mates muy interesante. Con ella te voy a enseñar algunos gráficos y algún concepto de secuencias. ¿Te atreves con el problema? Seguro que lo resuelves genial 😀

El problema: ¿cómo calcular tu hipoteca?

Básicamente cuando pides una hipoteca es porque quieres pagarte algo muy grande (o que vale mucho) y no tienes el dinero suficiente para comprarlo. Pero tu «amigo» banco se ofrece para prestarte el dinero que necesitas.

¡Eso si! No todo es gratis company. El banco te cobra sus servicios mes a mes. Mediante los conocidos intereses.

Sólo tienes que preocuparte de darle a tu «amigo» una cantidad fija al mes. «Religiosamente», sin fallar un sólo mes. La cuota mensual será lo que debes calcular cuando te planteas un hipoteca.

Pero, ¿qué necesitas para calcular esta cuota mensual? Fácil,

La cantidad que te va a prestar el banco. El préstamo: 150.000€
El período que tengo para devolver el dinero al banco: 30 años
El interés que tiene el préstamo: un interés fijo anual del 4%

Cuando te pones de verdad a pedir una hipoteca para una vivienda hay muchos más gastos que no están incluidos en la hipoteca y deberías mirar :~ . Escritura, seguro y otras historias que no voy a entrar. El problema en la práctica tiene más matices como siempre.

En este post quiero darte material relacionado con las mates. Voy a simplificar el tema. Normalmente las hipotecas trabajan con intereses variables. En el ejemplo te muestro la aplicación para un interés anual fijo para todo el período.

Las matemáticas que hay detrás. La secuencia geométrica

Un poco de mates no te van hacer daño. Lo que quieres calcular es la cuota mensual fija que te va a costa la hipoteca. Pero a parte quieres ver algo relacionado con lo que vale en € el préstamo, es decir:

El dinero que le pagas al banco en forma de intereses (lo pierdes y lo gana el banco)
El dinero que te sirve para amortizar el préstamo del banco. El dinero que sirve para pagar la deuda (no lo pierdes, se lo devuelvo al banco)

Como siempre las matemáticas utilizan símbolos. Es como un lenguaje. Son los siguientes:

$d_i$ : el valor de la deuda del mes número «i»
$P$ : el total del préstamo que le debo al banco
$t$ : los intereses por cada mes. Normalmente el banco te va a dar los intereses por año. Hay que pasarlo a mes mediante el concepto de tantos equivalentes
$Q$ : es la cuota mensual que le pagaré al banco. Es lo que quiero saber.
$z$ : valor de la progresión geométrica. Se define como $1+t$ . Es la razón que aumenta el valor de la deuda.

La visión de la deuda

Para llegar a calcular la cuota mensual que pagarás es interesante pensar en la deuda que tienes cada mes. Empieza por el primer mes a ver:

Lo que le debes al banco el primer mes ( $d_1$ ) es el valor del préstamo ( $P$ ) más el valor de los intereses ( $P·i$ ) menos lo que pagas este mes que es la cuota $Q$ .

$d_1 = P + P·t - Q= P·(1+t) - Q$

Si trabajas con la razón $z$ para simplificar, tienes:

$d_1 = P·z - Q$

Para el segundo mes los intereses se aplican a la cantidad que le debes al banco $d_1$ del mes anterior. Es lo mismo, la deuda del segundo mes $d_2$ es la deuda que te queda al final del primer mes $d_1$ mas los intereses $d_1·t$ y quitando el pago mensual $Q$ . Eso es:

$d_2 = d_1·t + d_1 - Q = d_1·(1+t) - Q = d_1·z- Q = P·z^2 - Q·z - Q$

Para el tercer mes exactamente igual. Ahora trabajas con la deuda al final del segundo mes $d_2$ . Pero el concepto es el mismo. Le sumas una parte de intereses $d_2·t$ y le quitas la cuota fija $Q$ .

$d_3 = d_2·i + d_2 - Q = d_2·(1+i) - Q = d_2·z- Q = P·z^3 - Q·z^2 - Qz - Q$

Fíjate que cada mes el valor de lo que le debo al banco es lo que le debía en el mes anterior más una cantidad de intereses.

Esta cantidad de intereses va disminuyendo cada mes ya que la deuda acumulada ( $d_i$ )también va disminuyendo.

Pensarás, «Jordi me quieres liar». NO… tranqui… Si sigues un poquito más podrás poner al final del período, es decir a los 30 años * 12 meses/año = 360 meses, la deuda en función de la cuota $Q$ , los meses $n$ y la razón de intereses $z$ .

Encuentras que al final del último mes la deuda que tienes con el banco es nula. Puedes expresar esta deuda en función del préstamo, la cuota mensual fija, el tipo del interés y el número de meses del período de la hipoteca.

$d_n = 0 = P·z^n - Q\sum_{k=0}^{n-1}{z^k}$

El sumatorio que ves es una progresión geométrica de razón $z$ . Es finita y converge a un valor conocido.

$\sum_{k=0}^{n-1}{z^k} = \frac{z^n-1}{z-1}$

Al final llegas a la conclusión que puedes aislar la cuota mensual fija que es lo que quieres saber. ¿Qué te tocará pagar a fin de mes? Sustituye el préstamo, la razón y el número de meses y sabrás el valor.

$Q = P\frac{z^n·(z-1)}{z^n-1}$

La máquina de cálculo

Si pienses des de el punto de vista de la herramienta de cálculo. Los inputs o entrada del problema son 3:

Interés anual fijo. i = 4%
Préstamo que pides. P = 150.000 €
Período de retorno: T = 30 años

Como quieres saber la cuota mensual que te tocaría pagar lo primero es pasar los inputs a valores mensuales. Te toca pasar el interés anual $i$ a un interés mensual $t$ . Y el período de años $t$ a meses $n$ .

Pasar de interés anual a interés mensual

Usa la teoría de tantos equivalentes (no voy a entrar en detalle). La idea es pasar de un interés anual a un interés que se aplica cada mes:

$1+i = (1+t)^12$

Si aíslas el valor del interés mensual $t$ te queda:

$t= (1+i)^\frac{1}{12} - 1$

Pasar de años a meses

Fácil, simplemente el valor de $T$ es ponderado a los 12 meses que tiene 1 año con la famosa regla de 3. (un día os voy hablar de esto 😀 )

Calcular la razón $z$

La razón $z$ es el valor de la serie geométrica por el cual va ir aumentando el valor de la deuda cada mes.

La razón como ya sabes es

$z= 1+t$

Calcular la cuota mensual que pagarás

Aplica la fórmula que has deducido con el concepto de progresión geométrica y lo sabrás.

$Q = P\frac{z^n·(z-1)}{z^n-1}$

¡Ah! Pero la pregunta del millón es… ¿Cuánto le voy a pagar al banco en concepto de intereses? ¿Cúanto me va a costar el préstamo?

Simplemente. Calcula la suma de las cuotas mensuales menos el valor del préstamo:

$PagoIntereses = Q_1 + Q_2 + .... + Q_n - P = Q·n - P$

NO TE OLVIDES DE DESCARGARTE LOS MATERIALES DE ESTE POST

Con este material podrás calcular la cuota mensual que pagarás con un préstamo de interés fijo.

DESCARGA EL EJEMPLO

Los mejores gráficos

Si te has descargado el material verás el siguiente gráfico. Es un gráfico de líneas donde ves tres conceptos en función de todos los meses del período del préstamo.

Cuota de interés: son los € que pagas cada mes en concepto de intereses. Estos € serán para el banco. La suma de estos € es el dinero que vale la hipoteca 🙁
Cuota efectiva o de amortización: son los € que pagas cada mes que van a servir para pagar la deuda.

Estos dos conceptos se representan en el eje vertical izquierdo.

Para la deuda acumulada los valores se representan en el eje vertical derecho.

Para este gráfico he utilizado estos valores:

Interés anual fijo. i = 4%
Préstamo que pides. P = 150.000 €
Período de retorno: T = 30 años

Este gráfico es un diagrama de líneas donde estás representando series temporales. Es decir valores en función del tiempo, en este caso, la escala de tiempo son los años que tienes para devolver el préstamo.

De este gráfico interpretas que:

Pagas más intereses al inicio que al final.
La deuda al principio cuesta más de disminuir que no al final.
La suma de la cuota de interés y la efectiva es una línea recta. El valor será la cuota mensual fija. Constante durante todo el período.

Ahora ya sabes dos cosas más, una aplicación de la serie geométrica y un gráfico de dos ejes con series temporales.

Además te quedas con una herramienta en excel y R para calcular tu hipoteca con un interés fijo. (si te descargas el material, claro 😉 )

¿Te atreverías con una hipoteca de interés variable? Inténtalo y cuéntame que tal 😀